Kalkulus Contoh

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $\frac{π}{3}$ ke dalam $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

Langkah 1.2.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

Langkah 1.2.2.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 1.2.2.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = \frac{π}{3}$ dan $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x) \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.4

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.5

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 2.8

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Langkah 2.9

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Langkah 2.10

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Langkah 2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Langkah 2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Langkah 2.13.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Langkah 2.14

Evaluasi turunan pada $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.6

Tulis kembali $- 1 (\frac{3}{2})$ sebagai $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Langkah 2.15.1.7

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 2.15.1.8

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Langkah 2.15.1.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Langkah 2.15.1.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1.11.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Langkah 2.15.1.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.15.1.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 2.15.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Langkah 2.15.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Langkah 2.15.2.2.2

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$- 1$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- 1$ dan titik yang diberikan $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

Langkah 3.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

Langkah 3.3.1.5.2

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Untuk menuliskan $\frac{π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Untuk menuliskan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.3.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.3.3.3

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.3.3.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Langkah 3.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Langkah 3.3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Langkah 3.3.3.5.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

Langkah 4