Kalkulus Contoh

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - \frac{π}{4}$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 1.3

Susun kembali faktor-faktor dari $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Langkah 1.4

Evaluasi turunan pada $x = - \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.3

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.4

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.6.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.7

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.7.5

Evaluasi eksponennya.

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.5.9

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Langkah 1.5.10

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran keempat.

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Langkah 1.5.11

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.5.12

Kalikan $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 \cdot - 1$

Langkah 1.5.12.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 4$ dan titik yang diberikan $(- \frac{π}{4}, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

Langkah 2.3.1.5

Tulis kembali $- 1 π$ sebagai $- π$ .

$y - 1 = - 4 x - π$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 4 x - π + 1$

Langkah 3