Kalkulus Contoh

$x^{2} + 6 x y + 12 y^{2} = 28$ , $(2, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x y + 12 y^{2}) = \frac{d}{d x} (28)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 6 x y + 12 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 y y')$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 24 y y'$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 6 (x y') + 6 y + 24 y y'$

Langkah 1.2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x + 6 x y' + 6 y + 24 y y'$

Langkah 1.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$6 x y' + 24 y y' + 2 x + 6 y$

Langkah 1.3

Karena $28$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $28$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x y' + 24 y y' + 2 x + 6 y = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x y' + 24 y y' + 6 y = - 2 x$

Langkah 1.5.1.2

Kurangkan $6 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x y' + 24 y y' = - 2 x - 6 y$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $6 y'$ dari $6 x y' + 24 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $6 y'$ dari $6 x y'$ .

$6 y' x + 24 y y' = - 2 x - 6 y$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $6 y'$ dari $24 y y'$ .

$6 y' x + 6 y' (4 y) = - 2 x - 6 y$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $6 y'$ dari $6 y' x + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$ dengan $6 (x + 4 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$ dengan $6 (x + 4 y)$ .

$\frac{6 y' (x + 4 y)}{6 (x + 4 y)} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 y' (x + 4 y)}{6 (x + 4 y)} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x + 4 y)}{x + 4 y} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 4 y)}{x + 4 y} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6 (x + 4 y)$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (x + 4 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (x + 4 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.3.1

Faktorkan $6$ dari $- 6 y$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- y}{x + 4 y}$

Langkah 1.5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y}{x + 4 y}$

Langkah 1.5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{y}{x + 4 y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y}{x + 4 y} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 1.5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $3 (x + 4 y)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{y}{x + 4 y}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y \cdot 3}{(x + 4 y) \cdot 3}$

Langkah 1.5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 4 y) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- x - y \cdot 3}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y' = \frac{- x - 3 y}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 3 y}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (3 y)}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 3 y)}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.9.1

Tulis kembali $- (x + 3 y)$ sebagai $- 1 (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 3 y)}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.5.3.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x + 3 y}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 3 y}{3 (x + 4 y)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{(2) + 3 y}{3 ((2) + 4 y)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{(2) + 3 (1)}{3 ((2) + 4 (1))}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- \frac{2 + 3}{3 (2 + 4 (1))}$

Langkah 1.7.3.2

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$- \frac{5}{3 (2 + 4 (1))}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$- \frac{5}{3 (2 + 4)}$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$- \frac{5}{3 \cdot 6}$

Langkah 1.7.5

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$- \frac{5}{18}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{5}{18}$ dan titik yang diberikan $(2, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{5}{18} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - \frac{5}{18} x - \frac{5}{18} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{5}{18}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} - \frac{5}{18} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{5}{18}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{18} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 (9)} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.3.3

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{9} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.2.4

Gabungkan $\frac{- 5}{9}$ dan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5 \cdot - 1}{9}$

Langkah 2.3.1.2.5

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{5}{9}$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 1 = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9} + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9} + \frac{9}{9}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5 + 9}{9}$

Langkah 2.3.2.4

Tambahkan $5$ dan $9$ .

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{14}{9}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{5}{18} x) + \frac{14}{9}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{5}{18} x + \frac{14}{9}$

Langkah 3