Kalkulus Contoh

$\int_{- 1}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{3} + 1$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{3} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2.4

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 6.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Langkah 6.4.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0)$

Langkah 6.5

Tambahkan $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ dan $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

Langkah 6.6.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Bentuk Desimal:

$0.62853936 \dots$