Kalkulus Contoh

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.7

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.1

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.8.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{3} x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 (x^{1} x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{1 + 3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.6

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.7

Gabungkan $4$ dan $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2}))) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4.1.1.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{4})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{4 (6 x^{4}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4.1.3

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$\frac{24 x^{4} + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4.1.4

Kalikan $3$ dengan $- 5$ .

$\frac{24 x^{4} + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4.1.5

Kalikan $- 15$ dengan $4$ .

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} - 16 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.4.2

Kurangi $16 x^{4}$ dengan $24 x^{4}$ .

$\frac{8 x^{4} - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.5

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $8 x^{4} - 60 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.5.1

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $8 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.5.2

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $- 60 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 3.8.5.3

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$