Kalkulus Contoh

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Langkah 1

Tulis $\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4

Bagilah $7 x^{4} + 5$ dengan $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Langkah 4.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $7 x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Langkah 4.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Langkah 4.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $7 x^{4} + 0 + 7 x^{2}$

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Langkah 4.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Langkah 4.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Langkah 4.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 7 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Langkah 4.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Langkah 4.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 7 x^{2} + 0 - 7$

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Langkah 4.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

$12$

Langkah 4.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 7 x^{2} - 7 + \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 7 x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$7 \int x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 10

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 11.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 12

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 (\arctan (x) + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

$\frac{7 x^{3}}{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Langkah 13.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$