Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 5.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \sin^{2} (t) d t$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 11

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 12

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Langkah 14

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 16.3

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Gabungkan $\sin (2 \arcsin (x))$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Langkah 17.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Langkah 17.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Langkah 17.4

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 17.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

Langkah 19

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$