Kalkulus Contoh

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{2} + 5$ dan $g (y) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d y} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Langkah 3.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Tambahkan $3 x'$ dan $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Langkah 3.4.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Langkah 3.4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 5$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5])$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Langkah 3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + \frac{d}{d y} [5])$

Langkah 3.7

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + 0)$

Langkah 3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tambahkan $2 x x'$ dan $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x')$

Langkah 3.8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + 2 \cdot (3 x + 1) x x'$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Terapkan sifat distributif.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Langkah 3.9.2

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Langkah 3.9.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x x'$

Langkah 3.9.4

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x) x'$

Langkah 3.9.5

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Langkah 3.9.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.6.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Langkah 3.9.6.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x \cdot x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Langkah 3.9.6.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Langkah 3.9.6.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x^{1}) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Langkah 3.9.6.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{1 + 1} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Langkah 3.9.6.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Langkah 3.9.6.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 x x'$

Langkah 3.9.6.8

Tambahkan $3 x^{2} x'$ dan $6 x^{2} x'$ .

$9 x^{2} x' + 15 x' + 2 x x'$

Langkah 3.9.7

Susun kembali suku-suku.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = 9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$ .

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$

Langkah 5.2

Faktorkan $x'$ dari $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x'$ dari $9 x^{2} x'$ .

$x' (9 x^{2}) + 2 x x' + 15 x' = 1$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x'$ dari $2 x x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + 15 x' = 1$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x'$ dari $15 x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $x'$ dari $x' (9 x^{2}) + x' (2 x)$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $x'$ dari $x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ dengan $9 x^{2} + 2 x + 15$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ dengan $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$