Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 1.3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 1.4

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 1.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 1.5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 1.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Langkah 2.1.3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 2.1.3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 2.1.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 2.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Langkah 2.1.3.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 2.1.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.1.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 2 + 1$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.5.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.5.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

Langkah 2.5.1.4

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = 2 + 2$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $4$ dan pada $3$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 6.2.5

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 6.2.6

Pindahkan $3^{1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Langkah 6.2.7

Kalikan $3^{\frac{3}{2}}$ dengan $3^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Pindahkan $3^{- 1}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Langkah 6.2.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Langkah 6.2.7.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Langkah 6.2.7.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Langkah 6.2.7.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Langkah 6.2.7.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Langkah 6.2.7.6.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 6.2.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2

Kalikan $2 (\frac{16}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.2

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Bentuk Desimal:

$3.73846343 \dots$

Langkah 9