Kalkulus Contoh

$x y' = x^{2} \sin (x) + y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) + y$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$

Langkah 2.2

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Langkah 2.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Langkah 2.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Langkah 2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Langkah 2.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (x)}{1}$

Langkah 2.4.2.5

Bagilah $x \sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (x)$

Langkah 2.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (x)$

Langkah 2.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (x)$

Langkah 3

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Langkah 3.2

Integralkan $\frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 3.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 3.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 3.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 3.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 3.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 4

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan $x$ dari $x \sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (x)))$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Langkah 4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (x)$

Langkah 5

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (x)$

Langkah 6

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (x) d x$

Langkah 8

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x} y = - \cos (x) + C$

Langkah 9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} = - \cos (x) + C$

Langkah 9.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Langkah 9.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- \cos (x) + C) x$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Sederhanakan $(- \cos (x) + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \cos (x) x + C x$

Langkah 9.3.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \cos (x) x + C x$ .

$y = - x \cos (x) + C x$

Langkah 9.3.2.1.2.2

Susun kembali $- x \cos (x)$ dan $C x$ .

$y = C x - x \cos (x)$