Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Langkah 2.3.6.3

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $4$ untuk $y$ padda $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ .

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ .

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Langkah 4.2

Sederhanakan $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Langkah 4.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Langkah 4.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Langkah 4.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Langkah 4.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Langkah 4.2.5.2

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

Langkah 4.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

Langkah 4.2.7

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

Langkah 4.2.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Langkah 4.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Langkah 4.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.10.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

Langkah 4.2.10.2

Tambahkan $- 2$ dan $9$ .

$\frac{7}{3} + K = 4$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{7}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$K = \frac{12 - 7}{3}$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $7$ dengan $12$ .

$K = \frac{5}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{5}{3}$ untuk $K$ dalam $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{5}{3}$ untuk $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$