Kalkulus Contoh

$x d y = (x \sin (x) - y) d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(x \sin (x) - y) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x d y - (x \sin (x) - y) d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- (x \sin (x) - y) d x + x d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - (x \sin (x) - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x \sin (x) - y)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (x \sin (x) - y)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \sin (x) - y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 2.4

Karena $x \sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.7.2

Kalikan $\frac{d}{d y} [y]$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$1 = 1$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x y + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 9.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 9.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.1

Sederhanakan $- (x \sin (x) - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{d g}{d x} + y = 0 + 0 - (x \sin (x) - y)$

Langkah 10.1.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

Langkah 10.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x)) - - y$

Langkah 10.1.1.1.4

Kalikan $- - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + 1 y$

Langkah 10.1.1.1.4.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + y$

Langkah 10.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + y - y$

Langkah 10.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $- x \sin (x) + y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.2.1

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Langkah 10.1.2.2.2

Tambahkan $- x \sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Langkah 11

Temukan $- x \sin (x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Langkah 11.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Langkah 11.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Langkah 11.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Langkah 11.6.2

Kalikan $\int \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Langkah 11.7

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Langkah 11.8

Tulis kembali $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ sebagai $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Langkah 13

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Langkah 13.2

Kalikan $- (- x \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = x y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Langkah 13.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x y + x \cos (x) - \sin (x) + C$