Kalkulus Contoh

$(x + \frac{2}{y}) d y + y d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{2}{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Langkah 3.4

Karena $\frac{2}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Langkah 3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$1 = 1$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Langkah 6

Integralkan $M (x, y) = y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y x + C$

Langkah 7

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Langkah 9.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

Langkah 9.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

Langkah 10.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x + \frac{2}{y} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

Langkah 10.1.2.2

Tambahkan $\frac{2}{y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Langkah 11

Temukan $\frac{2}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Langkah 11.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 11.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

Langkah 13

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Langkah 13.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$