Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 3 y = x + e^{- 2 x}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 3 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{3 x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Langkah 2.3

Kalikan $e^{3 x}$ dengan $e^{- 2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x - 2 x}$

Langkah 2.3.2

Kurangi $2 x$ dengan $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = x e^{3 x} + e^{x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = x e^{3 x} + e^{x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Langkah 6.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Langkah 6.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x) + \int e^{x} d x$

Langkah 6.5

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 6.5.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 6.5.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 6.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int e^{x} d x$

Langkah 6.6

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int e^{x} d x$

Langkah 6.7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int e^{x} d x$

Langkah 6.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Langkah 6.8.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Langkah 6.9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + \int e^{x} d x$

Langkah 6.10

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + e^{x} + C$

Langkah 6.11

Sederhanakan.

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + e^{x} + C$

Langkah 6.12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ dengan $e^{3 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ dengan $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Bagilah $\frac{1}{3} x$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Bagilah $- \frac{1}{9}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $e^{x}$ dan $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.1

Faktorkan $e^{3 x}$ dari $e^{x}$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.3.2.4

Bagilah $e^{- 2 x}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.2

Kurangi $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{1}{3} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Susun kembali $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$y = x \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.2.2

Untuk menuliskan $x \frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$y = x \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.2.3

Gabungkan $x \frac{1}{3}$ dan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 (3)) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 \cdot 3) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x \cdot 3 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.4

Untuk menuliskan $e^{- 2 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.5.1

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + \frac{e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{3 x - 1 + e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.6.1

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{3 x - 1 + 9 \cdot e^{- 2 x}}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.7

Untuk menuliskan $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.8

Untuk menuliskan $\frac{C}{e^{3 x}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 7.3.9

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $9 e^{3 x}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.9.1

Kalikan $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ dengan $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 7.3.9.2

Kalikan $\frac{C}{e^{3 x}}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Langkah 7.3.9.3

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Langkah 7.3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Langkah 7.3.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{- 2 x} e^{3 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Langkah 7.3.11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.11.2.1

Kalikan $e^{- 2 x}$ dengan $e^{3 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.11.2.1.1

Pindahkan $e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 (e^{3 x} e^{- 2 x}) - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Langkah 7.3.11.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{3 x - 2 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Langkah 7.3.11.2.1.3

Kurangi $2 x$ dengan $3 x$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Langkah 7.3.11.2.2

Tulis kembali $- 1 e^{3 x}$ sebagai $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Langkah 7.3.11.3

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$