Kalkulus Contoh

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $(x + 1) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Langkah 1.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Langkah 1.7

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Langkah 1.8

Susun kembali $y$ dan $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Langkah 1.9

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (| x |)$ dan $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Langkah 5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ dengan $x + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ dengan $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

Langkah 6.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| x |) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

Langkah 7

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $10$ untuk $y$ padda $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ .

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

Langkah 8

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ .

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

Langkah 8.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Sederhanakan $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1.1

Kalikan $\ln (| 1 |)$ dengan $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3.1.1.1.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3.1.1.1.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3.1.1.1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3.1.1.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3.1.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(1 + 1) \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

Langkah 8.3.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$- 1 + C = 20$

Langkah 8.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 20 + 1$

Langkah 8.4.2

Tambahkan $20$ dan $1$ .

$C = 21$

Langkah 9

Substitusikan $21$ untuk $C$ dalam $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Substitusikan $21$ untuk $C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$