Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{y}{x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.2.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x \cdot x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x^{1}} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1 + 1}} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menuliskan $\frac{y}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 1.2.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x \cdot x}$

Langkah 1.2.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x}$

Langkah 1.2.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Langkah 1.2.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Langkah 1.2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + y x}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4

Faktorkan $y$ dari $y + y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} + y x}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y x}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4.3

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (x)}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 + x)}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4.5

Kalikan $y$ dengan $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + x)}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.2

Kalikan $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Langkah 2.3.3.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.6

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{1}{x} + C}$ sebagai $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{- \frac{1}{x}} e^{C})$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{1}{x}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{- \frac{1}{x}})$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x | e^{- \frac{1}{x}}$