Kalkulus Contoh

$\frac{d Q}{d t} + \frac{2}{10 + 2 t} Q = 4$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = \frac{2}{10 + 2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{10 + 2 t} d t}$

Langkah 1.2

Integralkan $\frac{2}{10 + 2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $10 + 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{10 + 2 t} d t}$

Langkah 1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 t} d t}$

Langkah 1.2.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 t$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 (t)} d t}$

Langkah 1.2.1.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (5) + 2 (t)$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Langkah 1.2.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Langkah 1.2.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\int \frac{1}{5 + t} d t}$

Langkah 1.2.2

Biarkan $u = 5 + t$ . Kemudian $d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Biarkan $u = 5 + t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Diferensialkan $5 + t$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t]$

Langkah 1.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 + t$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.2.2.1.3

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.2.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 1.2.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 1.2.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Langkah 1.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 + t$ .

$e^{\ln (| 5 + t |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (5 + t)}$

Langkah 1.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$5 + t$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $5 + t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $5 + t$ .

$(5 + t) \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $2$ dari $10 + 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 \cdot 5 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 5 + 2 t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{1}{5 + t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $\frac{1}{5 + t}$ dan $Q$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $5 + t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = (5 + t) \cdot 4$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 5 \cdot 4 + t \cdot 4$

Langkah 2.4

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + t \cdot 4$

Langkah 2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + 4 t$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [(5 + t) Q] = 20 + 4 t$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [(5 + t) Q] d t = \int 20 + 4 t d t$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$(5 + t) Q = \int 20 + 4 t d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$(5 + t) Q = \int 20 d t + \int 4 t d t$

Langkah 6.2

Terapkan aturan konstanta.

$(5 + t) Q = 20 t + C + \int 4 t d t$

Langkah 6.3

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 \int t d t$

Langkah 6.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Sederhanakan.

$(5 + t) Q = 20 t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Langkah 6.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{4}{2} t^{2} + C$

Langkah 6.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C$

Langkah 6.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C$

Langkah 6.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C$

Langkah 6.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2}{1} t^{2} + C$

Langkah 6.5.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ dengan $5 + t$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ dengan $5 + t$ .

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5 + t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $Q$ dengan $1$ .

$Q = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Langkah 7.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2} + C}{5 + t}$