Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u = 3 x^{3} + 1$ . Kemudian $d u = 9 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u = 3 x^{3} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Langkah 2.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{3} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Langkah 2.3.5.1.4.2

Tambahkan $9 x^{2}$ dan $0$ .

$9 x^{2}$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 9} d u$

Langkah 2.3.6.3

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 2.3.7

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1.1

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $9$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 2.3.8.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 2.3.8.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 1 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 2.3.8.1.3

Kalikan $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 2.3.8.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.1

Pindahkan $u^{\frac{3}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.8.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.8.2.2.2

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.8.2.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Langkah 2.3.8.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 2.3.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{3}$

Langkah 2.3.10

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.3.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{3} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + K$