Kalkulus Contoh

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{2} y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} e^{x} + 3 y = x^{2} y$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $3 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$

Langkah 1.1.3

Bagi setiap suku pada $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} - \frac{3 y}{e^{x}}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 3 y}{e^{x}}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 3 y}{e^{x}}$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $y$ dari $- 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 3}{e^{x}}$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $y$ dari $y x^{2} + y \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 3)}{e^{x}}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 2.3.1.2.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- x} d x$

Langkah 2.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2} - 3$ dan $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Langkah 2.3.6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.8.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.9

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.9.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.9.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 2.3.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 2.3.11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Langkah 2.3.12

Tulis kembali $(x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ sebagai $- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$

Langkah 2.3.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Langkah 2.3.14

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan $e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}$

Langkah 3.3.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Langkah 3.3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Langkah 3.3.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Kurangi $2 e^{- x}$ dengan $3 e^{- x}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Langkah 3.3.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ sebagai $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$