Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{y}$ , $y (0) = - 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = x \sin (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Langkah 2.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $\int \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Tulis kembali $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ sebagai $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Langkah 3.4

Faktorkan $2$ dari $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $2$ dari $2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Langkah 3.4.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

Langkah 3.4.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Langkah 4

Karena $y$ negatif pada sarat awal $(0, - 1)$ , hanya pertimbangkan $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $0$ untuk $x$ dan $- 1$ untuk $y$ .

$- 1 = - \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$ .

$- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$

Langkah 5.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$ sebagai ${(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan ${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

${(- {(2 (0 \cdot 1 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

${(- {(2 (0 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

${(- {(2 (0 + 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $0 + 0 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

${(- {(2 (0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

${(- {(2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 K$ .

${(- (2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.3

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 2^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.5

Kalikan ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ dengan $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.6

Kalikan eksponen dalam ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2^{1} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.7

Evaluasi eksponennya.

$2 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.8

Kalikan eksponen dalam ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.8.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.8.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 K^{1} = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.9

Sederhanakan.

$2 K = {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$2 K = 1$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $2 K = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 K = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{1}{2}$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $K$ dalam $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $K$ .

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + \frac{1}{2})}$