Kalkulus Contoh

$(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 1]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (x e^{y} + e^{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x e^{y} + e^{y})]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x e^{y} + e^{y})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{y} + e^{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Langkah 2.4

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Langkah 2.6

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Langkah 2.7

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + 0)$

Langkah 2.8

Tambahkan $e^{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- e^{y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - e^{y}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$0 = - e^{y}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- e^{y}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $- (x e^{y} + e^{y})$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- (x e^{y} + e^{y})$ untuk $N$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $- - e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{0 + 1 e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\frac{0 + e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $e^{y}$ dari $x e^{y} + e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $e^{y}$ dari $x e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y})}$

Langkah 4.3.3.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y} \cdot 1)}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $e^{y}$ dari $e^{y} x + e^{y} \cdot 1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} (x + 1))}$

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- 1 (x + 1)}$

Langkah 4.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- 1 (x + 1)}$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{x + 1}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 5.2

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 5.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 5.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Langkah 5.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 1 |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- \ln (| x + 1 |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 1 |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x + 1 |}^{- 1} + C$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 1 |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x - 1$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$(x - 1) \frac{1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $x - 1$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $- (x e^{y} + e^{y})$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + (- (x e^{y}) - e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $- x e^{y} - e^{y}$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{- x e^{y} - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.6

Faktorkan $e^{y}$ dari $- x e^{y} - e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $e^{y}$ dari $- x e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.6.2

Faktorkan $e^{y}$ dari $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.6.3

Faktorkan $e^{y}$ dari $e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x - 1)}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.7

Hapus faktor persekutuan dari $- x - 1$ dan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1)}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.7.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1 (1))}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.7.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.7.4

Tulis kembali $- (x + 1)$ sebagai $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.7.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Langkah 6.7.6

Bagilah $e^{y} \cdot (- 1)$ dengan $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + e^{y} \cdot (- 1) d y = 0$

Langkah 6.8

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - 1 \cdot e^{y} d y = 0$

Langkah 6.9

Tulis kembali $- 1 e^{y}$ sebagai $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - e^{y} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{y} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = - e^{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int e^{y} d y$

Langkah 8.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$f (x, y) = - (e^{y} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = - e^{y} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y} + g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- e^{y} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 11.3

Karena $- e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 11.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 12

Temukan $\frac{x - 1}{x + 1}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Langkah 12.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Langkah 12.3

Bagilah $x - 1$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Langkah 12.3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

Langkah 12.3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 12.3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 12.3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

Langkah 12.3.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$g (x) = \int 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

Langkah 12.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Langkah 12.5

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Langkah 12.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = x + C - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Langkah 12.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = x + C - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 12.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 12.9

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.9.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.9.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 12.9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 12.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 12.9.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 12.9.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 12.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 12.10

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$g (x) = x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Langkah 12.11

Sederhanakan.

$g (x) = x - 2 \ln (| u |) + C$

Langkah 12.12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$g (x) = x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 13

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 14

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x + 1 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({| x + 1 |}^{2}) + C$

Langkah 14.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x + 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({(x + 1)}^{2}) + C$