Kalkulus Contoh

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y - y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x - 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x + 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x - 1 = 2 x + 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 x - 1 = 2 x + 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x - 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 x + 1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x^{2} + x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x^{2} + x$ untuk $N$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

Langkah 4.3.2.4

Kurangi $2 x$ dengan $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

Langkah 4.3.2.5

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

Langkah 4.3.2.6

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

Langkah 4.3.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Langkah 4.3.3.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

Langkah 4.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

Langkah 5.4

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.2

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.5.1.2

Bagilah $A (x + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.5.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 5.4.1.5.4.2

Bagilah $(B) (x)$ dengan $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Langkah 5.4.1.6

Pindahkan $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Langkah 5.4.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 5.4.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 5.4.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Langkah 5.4.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Langkah 5.4.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A + B$ dengan $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Langkah 5.4.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Langkah 5.4.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Langkah 5.4.3.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Langkah 5.4.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = - 1 A = 1$

Langkah 5.4.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = - 1, A = 1$

Langkah 5.4.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Langkah 5.4.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 5.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Langkah 5.6

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Langkah 5.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Langkah 5.8

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 5.8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.8.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.8.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

Langkah 5.9

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

Langkah 5.10

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

Langkah 5.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

Langkah 5.12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.1

Sederhanakan $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

Langkah 5.12.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

Langkah 5.12.3

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

Langkah 5.12.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.5.1

Hapus nilai mutlak dalam ${| x + 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.2

Tulis kembali ${(x + 1)}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 1)$ .

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.3

Perluas $(x + 1) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.5.3.1

Terapkan sifat distributif.

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.3.2

Terapkan sifat distributif.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.3.3

Terapkan sifat distributif.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.5.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.5.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.4.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.4.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.4.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.5

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.12.5.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.5.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 5.12.5.5.3

Tulis kembali polinomialnya.

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.5.5.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Langkah 5.12.6

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $2 x y - y$ dengan $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $2 x y - y$ dengan $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $y$ dari $2 x y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $y$ dari $2 x y$ .

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $y$ dari $y (2 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $x^{2} + x$ dengan $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x^{2} + x$ dengan $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6.2

Kalikan $x + 1$ dengan ${(x + 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Pindahkan ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6.2.2

Kalikan ${(x + 1)}^{2}$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.2.1

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.6.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.7

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Faktorkan $x$ dari $x {(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 6.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 6.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ dan $y$ .

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali $\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ sebagai $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Langkah 8.2.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

Langkah 8.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

Langkah 8.2.3.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ dan $g (x) = x$ .

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.11

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.12

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.13

Tambahkan $3 x^{2} + 6 x + 3$ dan $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.15

Gabungkan $y$ dan $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.9

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.10

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.11

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.12

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.13

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.15

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.16

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.17

Pindahkan $y$ .

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.18

Kurangi $x^{3} y$ dengan $3 x^{3} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.19

Pindahkan $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.20

Kurangi $3 x^{2} y$ dengan $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.21

Pindahkan $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.22

Kurangi $3 x y$ dengan $3 x y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.4.23

Tambahkan $2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ dan $0$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.6

Faktorkan $y$ dari $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.6.1

Faktorkan $y$ dari $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.6.2

Faktorkan $y$ dari $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.6.3

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.6.4

Faktorkan $y$ dari $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.6.5

Faktorkan $y$ dari $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.7

Untuk menuliskan $\frac{d g}{d x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.9.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.9.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.9.2.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.9.3

Sederhanakan setiap suku.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.10

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 12.1.2

Sederhanakan $y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Tulis kembali.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 12.1.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 12.1.2.2.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 12.1.2.2.2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.2.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 12.1.2.2.2.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 12.1.2.2.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 12.1.2.2.4

Tulis kembali ${(x + 1)}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

Langkah 12.1.2.3

Perluas $(x + 1) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Langkah 12.1.2.3.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Langkah 12.1.2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Langkah 12.1.2.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Langkah 12.1.2.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Langkah 12.1.2.4.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Langkah 12.1.2.4.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

Langkah 12.1.2.4.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

Langkah 12.1.2.5

Perluas $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.6.1

Gabungkan suku balikan dalam $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.6.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 y x \cdot 1$ dan $- y (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.1.2

Kurangi $2 x y$ dengan $1 \cdot 2 x y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.1.3

Tambahkan $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ dan $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.6.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.6.2.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.6.2.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.2.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.6.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

Langkah 12.1.2.6.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

Langkah 12.1.2.6.3

Kurangi $y x^{2}$ dengan $4 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

Langkah 12.1.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Kurangkan $2 y x^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

Langkah 12.1.3.2

Kurangkan $3 y x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

Langkah 12.1.3.3

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

Langkah 12.1.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.4.1

Kurangi $2 y x^{3}$ dengan $2 y x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

Langkah 12.1.3.4.2

Tambahkan $3 y x^{2} - y$ dan $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

Langkah 12.1.3.4.3

Kurangi $3 y x^{2}$ dengan $3 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

Langkah 12.1.3.4.4

Tambahkan $- y$ dan $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

Langkah 12.1.3.4.5

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 12.1.4

Bagi setiap suku pada $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Langkah 12.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Langkah 12.1.4.2.1.2

Bagilah $\frac{d g}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

Langkah 12.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 13

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 13.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 13.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Langkah 15

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$