Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $\frac{2 y}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{2}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = - x^{2} \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \cdot - 1 \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Langkah 3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \cdot - 1 \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Langkah 3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = - \cos (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = - \cos (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int - \cos (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} y = \int - \cos (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x^{2} y = - \int \cos (x) d x$

Langkah 7.2

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$x^{2} y = - (\sin (x) + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$x^{2} y = - \sin (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{2} y = - \sin (x) + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} y = - \sin (x) + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$