Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) + y \cot (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y \cot (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - y \cot (x) = \csc (x)$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cot (x)) = \csc (x)$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- 1 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cot (x) y = \csc (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1 \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 \cot (x) d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- 1 \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \cot (x) d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sin (x) |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| \sin (x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (\sin (x))}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (\sin^{- 1} (x))}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\sin^{- 1} (x)$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sin (x)}$

Langkah 2.7

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} + \csc (x) (- 1 \cot (x) y) = \csc (x) \csc (x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc (x) \csc (x)$

Langkah 3.3

Kalikan $\csc (x) \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc (x)$

Langkah 3.3.2

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)$

Langkah 3.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = {\csc (x)}^{1 + 1}$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - y \csc (x) \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\csc (x) y] = \csc^{2} (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\csc (x) y] d x = \int \csc^{2} (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\csc (x) y = \int \csc^{2} (x) d x$

Langkah 7

Karena turunan dari $- \cot (x)$ adalah $\csc^{2} (x)$ , maka integral dari $\csc^{2} (x)$ adalah $- \cot (x)$ .

$\csc (x) y = - \cot (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ dengan $\csc (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ dengan $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Pisahkan pecahan.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.2

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.5

Tulis $\sin (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{- 1}{1} \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.7

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.8

Pisahkan pecahan.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Langkah 8.3.1.9

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Langkah 8.3.1.10

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \sin (x))$

Langkah 8.3.1.11

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \sin (x)$

Langkah 8.3.1.12

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$y = - \cos (x) + C \sin (x)$