Kalkulus Contoh

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kalikan $\frac{d y}{d x} y$ dengan $x$ .

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kurangkan $x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

Langkah 1.1.2.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $\frac{d y}{d x} y$ dari $\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $\frac{d y}{d x} y$ dari $\frac{d y}{d x} y$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Langkah 1.1.3.2

Faktorkan $\frac{d y}{d x} y$ dari $\frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Langkah 1.1.3.3

Faktorkan $\frac{d y}{d x} y$ dari $\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ .

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

Langkah 1.1.4

Bagi setiap suku pada $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ dengan $y (1 + x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Bagilah setiap suku di $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ dengan $y (1 + x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{x}{1 + x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(1 + x) y$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.3.1

Kalikan $\frac{x}{1 + x}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(1 + x) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.5

Faktorkan $x$ dari $- x y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.5.1

Faktorkan $x$ dari $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.5.2

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.5.3

Faktorkan $x$ dari $x (- y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.7

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.9.1

Tulis kembali $- (y + 1)$ sebagai $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

Langkah 1.1.4.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Langkah 1.4.2

Kalikan $\frac{x}{1 + x}$ dengan $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y}{y + 1}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Langkah 1.4.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Langkah 1.4.3.3

Faktorkan $y$ dari $(1 + x) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Langkah 1.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Langkah 1.4.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

Langkah 1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Faktorkan $y + 1$ dari $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Langkah 1.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Langkah 1.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah $y$ dengan $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Langkah 2.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Langkah 2.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 2.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.2.5

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 2.3.2

Susun kembali $1$ dan $x$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.3

Bagilah $x$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 2.3.3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 2.3.3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 2.3.3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 2.3.3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 2.3.3.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 2.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 2.3.7

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.7.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 2.3.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Langkah 2.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Langkah 2.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Langkah 2.3.11.2

Kalikan $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Langkah 2.3.11.2.2

Kalikan $\ln (| x + 1 |)$ dengan $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$