Kalkulus Contoh

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

Langkah 1

Biarkan $v = x + y$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $x + y$ .

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

Langkah 3

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

Langkah 4

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d v}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Tambahkan $v$ ke kedua sisi persamaan.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

Langkah 4.1.1.2

Tambahkan $2 v$ dan $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

Langkah 4.1.2

Bagi setiap suku pada $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ dengan $v$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Bagilah setiap suku di $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ dengan $v$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Langkah 4.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Langkah 4.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Langkah 4.1.2.3.1.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

Langkah 4.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 + \frac{1}{v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

Langkah 4.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

Langkah 5

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Langkah 5.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Langkah 5.2.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $\frac{v}{3 v + 1}$ dengan $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Langkah 5.2.2

Bagilah $v$ dengan $3 v + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

Langkah 5.2.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $v$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

Langkah 5.2.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $v + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Langkah 5.2.2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Langkah 5.2.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Langkah 5.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Langkah 5.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Langkah 5.2.6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

Langkah 5.2.7

Biarkan $u = 3 v + 1$ . Kemudian $d u = 3 d v$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d v$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Biarkan $u = 3 v + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.1

Diferensialkan $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

Langkah 5.2.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 v + 1$ terhadap $v$ adalah $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

Langkah 5.2.7.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $3 v$ terhadap $v$ adalah $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Langkah 5.2.7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ adalah $n v^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

Langkah 5.2.7.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

Langkah 5.2.7.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $1$ terhadap $v$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 5.2.7.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 5.2.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Langkah 5.2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.8.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Langkah 5.2.8.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Langkah 5.2.9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Langkah 5.2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 5.2.10.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 5.2.11

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Langkah 5.2.12

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

Langkah 5.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Langkah 6

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Langkah 6.1.2

Kalikan $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Susun kembali $\ln (| u |)$ dan $\frac{1}{9}$ .

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

Langkah 6.1.2.2

Sederhanakan $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{9}$ ke dalam logaritma.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

Langkah 6.2

Tambahkan $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Langkah 6.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Langkah 6.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Langkah 6.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Langkah 6.5

Sederhanakan $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Sederhanakan $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

Langkah 6.5.1.2

Kalikan eksponen dalam ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

Langkah 6.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

Langkah 6.5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

Langkah 6.5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 6.5.2

Susun kembali $3 x$ dan $3 C$ .

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 7

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

Langkah 9.2

Kurangi $x$ dengan $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$