Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $x = \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positif.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.2.2

Terapkan identitas pythagoras.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\sec (t)$ dengan $\sec^{2} (t)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\sec (t)$ dengan $\sec^{2} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 2.3.4

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec^{3} (t)$ .

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sec (t)$ dan $d v = \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.3.6

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.3.7

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.3.9.2

Susun kembali $\tan^{2} (t)$ dan $\sec (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.10

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.3.11

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.3.11.2

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.3.11.3

Susun kembali $\sec (t)$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.3.12

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.3.13

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.3.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Langkah 2.3.15

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.3.16

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 2.3.17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Langkah 2.3.18

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Langkah 2.3.19

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 2.3.20

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 2.3.21

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 2.3.22

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.22.1

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 2.3.22.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 2.3.23

Ketika menyelesaikan $\int \sec^{3} (t) d t$ , kami menemukan bahwa $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2} + C_{3}$

Langkah 2.3.24

Kalikan $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}}{2} + C_{3}$

Langkah 2.3.25

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C_{4}$

Langkah 2.3.26

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$