Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $2 y \cot (2 x)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $2 \cot (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.2.2.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $\cot (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Langkah 2.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Langkah 2.2.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Langkah 2.2.5.3

Kalikan $\int \cot (u) d u$ dengan $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\cot (u)$ terhadap $u$ adalah $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\sin (2 x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

Langkah 3.2

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan tanda kurung.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Langkah 3.2.2

Susun kembali $\sin (2 x)$ dan $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

Langkah 3.2.3

Tambahkan tanda kurung.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Langkah 3.2.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 7.3

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 7.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Langkah 7.5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 7.5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 7.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 7.6

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 7.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Langkah 7.8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Langkah 7.9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Langkah 7.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1

Tulis kembali $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 7.10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 7.10.2.2

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 7.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 7.12

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.1.2

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ dengan $\sin (2 x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ dengan $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.3.1.2

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (2 x)}$ ke $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.3.1.3

Gabungkan $\csc (2 x)$ dan $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.3.1.4.2

Bagilah $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.3.1.5

Pisahkan pecahan.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Langkah 8.2.3.1.6

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (2 x)}$ ke $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Langkah 8.2.3.1.7

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

Langkah 8.2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ .

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$