Kalkulus Contoh

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $(x^{2} - 1) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2} - 1$ dan $g (x) = y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$(x^{2} - 1) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + 0)$

Langkah 1.6

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x)$

Langkah 1.7

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Langkah 1.8

Hilangkan tanda kurung.

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Langkah 1.9

Pindahkan $y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] = x$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] d x = \int x d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$(x^{2} - 1) y = \int x d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $x^{2} - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.3.1.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.3.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.3.1.4

Gabungkan.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 ((x + 1) (x - 1))} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.3.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Langkah 6.3.1.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1^{2}}$

Langkah 6.3.1.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$