Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x) + 1)}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} (\ln (\frac{y}{x}) + 1)$

Langkah 1.2.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\ln (\frac{y}{x}) + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (\frac{y}{x}) + 1) \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (V) + 1) V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Sederhanakan $(\ln (V) + 1) V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Tulis kembali.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\ln (V) + 1) V$

Langkah 6.1.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Langkah 6.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + 1 V$

Langkah 6.1.1.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.4.1

Kalikan $V$ dengan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + V$

Langkah 6.1.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (V) V + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V) + V$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + V - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $V \ln (V) + V - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + 0$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Tambahkan $V \ln (V)$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{V \ln (V)}$ .

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Langkah 6.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $V \ln (V)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Langkah 6.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{V \ln (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{V \ln (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Biarkan $u = \ln (V)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{V} d V$ sehingga $V d u = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Biarkan $u = \ln (V)$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Diferensialkan $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Turunan dari $\ln (V)$ terhadap $V$ adalah $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| \ln (V) |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| \ln (V) |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 6.3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$

Langkah 6.3.3

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |})} = e^{C}$

Langkah 6.3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) |}{| x |}$

Langkah 6.3.5

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$

Langkah 6.3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Langkah 6.3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Langkah 6.3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| \ln (V) | = e^{C} | x |$

Langkah 6.3.5.4

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) | = | x | e^{C}$

Langkah 6.3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) = \pm | x | e^{C}$

Langkah 6.3.5.4.3

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C}}$

Langkah 6.3.5.4.4

Tulis kembali $\ln (V) = \pm | x | e^{C}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C}} = V$

Langkah 6.3.5.4.5

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.4.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $V = e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$

Langkah 6.3.5.4.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x |}$

Langkah 6.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = e^{\pm C | x |}$

Langkah 6.4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$V = e^{C | x |}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = e^{C | x |}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = e^{C | x |} x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C | x |} x$ .

$y = x e^{C | x |}$