Kalkulus Contoh

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Langkah 1.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Langkah 1.1.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Langkah 1.1.1.4

Terapkan sifat distributif.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Langkah 1.1.1.5

Terapkan sifat distributif.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

Langkah 1.1.1.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

Langkah 1.1.2.2

Tambahkan $x y$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x \frac{d y}{d x}$ dari $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $x \frac{d y}{d x}$ dari $x \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Langkah 1.1.3.2

Faktorkan $x \frac{d y}{d x}$ dari $- x y \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

Langkah 1.1.3.3

Faktorkan $x \frac{d y}{d x}$ dari $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

Langkah 1.1.4

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

Langkah 1.1.5

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ dengan $x (1 - y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ dengan $x (1 - y)$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

Langkah 1.1.5.3.2

Untuk menuliskan $\frac{y}{1 - y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 1.1.5.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (1 - y)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.3.1

Kalikan $\frac{y}{1 - y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

Langkah 1.1.5.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(1 - y) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.5

Faktorkan $y$ dari $- y + y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot - 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.6

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

Langkah 1.1.5.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1 - y}{y}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Langkah 1.4.2

Kalikan $\frac{y}{1 - y}$ dengan $\frac{1 - x}{x}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1 - y}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Langkah 1.4.3.2

Faktorkan $1 - y$ dari $- (1 - y)$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Langkah 1.4.3.3

Faktorkan $1 - y$ dari $(1 - y) x$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

Langkah 1.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Langkah 1.4.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Langkah 1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Langkah 1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.2.3.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.2.5

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.2.7

Susun kembali suku-suku.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Susun kembali $1$ dan $- x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

Langkah 2.3.3

Bagilah $- x + 1$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$0$

$x$

$1$

Langkah 2.3.3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

Langkah 2.3.3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

Langkah 2.3.3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x + 0$

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

Langkah 2.3.3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

Langkah 2.3.3.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$