Kalkulus Contoh

$\sin (x) d y + y^{2} \cos (x) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2} \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} \cos (x)]$

Langkah 2.2

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{2} \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) (2 y)$

Langkah 2.4

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot \cos (x) y$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $2 \cos (x) y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y \cos (x)$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 y \cos (x)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\cos (x)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y \cos (x) = \cos (x)$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y \cos (x) = \cos (x)$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $2 y \cos (x)$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $y^{2} \cos (x)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $y^{2} \cos (x)$ untuk $M$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{y^{2} \cos (x)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos (x) - 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - 1 \cdot 2 y \cos (x)}{y^{2} \cos (x)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Faktorkan $\cos (x)$ dari $- 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Langkah 5.3.2.1.3

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Langkah 5.3.3

Substitusikan $y^{2} \cos (x)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - 2 y}{y^{2}}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) {(y^{2})}^{- 1} d y}$

Langkah 6.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{2 \cdot - 1} d y}$

Langkah 6.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{- 2} d y}$

Langkah 6.2

Kalikan $(1 - 2 y) y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 1 y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Langkah 6.3.2

Kalikan $y$ dengan $y^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Pindahkan $y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y) d y}$

Langkah 6.3.2.2

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y^{1}) d y}$

Langkah 6.3.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 2 + 1} d y}$

Langkah 6.3.2.3

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 1} d y}$

Langkah 6.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} d y + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Langkah 6.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Langkah 6.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 \int y^{- 1} d y}$

Langkah 6.7

Integral dari $y^{- 1}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 6.8

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 6.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln ({| y |}^{2})} + C$

Langkah 6.9.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$ dengan faktor integral $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y^{2} \cos (x)$ dengan $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d x + \sin (x) d y = 0$

Langkah 7.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $\sin (x)$ dengan $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d y = 0$

Langkah 7.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ sebagai $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x) d x$

Langkah 9.2

Karena $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \int \cos (x) d x$

Langkah 9.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \int \cos (x) d x$

Langkah 9.4

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\sin (x) + C)$

Langkah 9.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $\sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}]$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}$ .

$\sin (x) (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = - \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = - 1$ dan $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.6

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.9

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 \ln (y)$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.10

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.13

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.14

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.15

Tambahkan $y^{- 2}$ dan $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.16

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{- 2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.3.17

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}))) + \sin (x) (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.3

Hilangkan tanda kurung.

$\sin (x) y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.5.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 12.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.5.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.5.4.1.1

Faktorkan $y$ dari $- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + y (- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.5.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 12.5.5.4.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) \cdot 2 + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.5.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.6

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.6.1

Tambahkan $- 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ dan $2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + 0 = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 12.5.6.2

Tambahkan $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Langkah 13.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Sederhanakan $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (y)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Langkah 13.1.2.1.2

Kurangi $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ dengan $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d y}$

Langkah 13.1.3

Karena $\frac{d g}{d y}$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$- \frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 13.1.4

Bagi setiap suku pada $- \frac{d g}{d y} = 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{d g}{d y} = 0$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 13.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 13.1.4.2.2

Bagilah $\frac{d g}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 13.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 14

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 14.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 14.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Langkah 16

Sederhanakan $- 2 \ln (y)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) + C$