Kalkulus Contoh

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

Langkah 1

Biarkan $v = y^{2}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Langkah 3

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $2 y$ dari $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Langkah 3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

Langkah 4

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

Langkah 5

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $x v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Langkah 5.4

Substitusikan $\frac{d v}{d x}$ untuk $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Langkah 5.5

Susun kembali $v$ dan $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Langkah 5.6

Kalikan $v$ dengan $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Langkah 6

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

Langkah 7

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

Langkah 8

Integralkan sisi kiri.

$x v = \int 2 x d x$

Langkah 9

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x v = 2 \int x d x$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 9.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 9.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x v = 1 x^{2} + C$

Langkah 9.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$x v = x^{2} + C$

Langkah 10

Bagi setiap suku pada $x v = x^{2} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagilah setiap suku di $x v = x^{2} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 10.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 10.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 10.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 10.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Langkah 10.3.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 10.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 10.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Langkah 10.3.1.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$v = x + \frac{C}{x}$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $y^{2}$ .

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

Langkah 12

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

Langkah 12.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Untuk menuliskan $x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

Langkah 12.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

Langkah 12.2.3

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

Langkah 12.2.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ sebagai $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

Langkah 12.2.5

Kalikan $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 12.2.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.6.1

Kalikan $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Langkah 12.2.6.2

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Langkah 12.2.6.3

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Langkah 12.2.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Langkah 12.2.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 12.2.6.6

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.6.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 12.2.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 12.2.6.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 12.2.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 12.2.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Langkah 12.2.6.6.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

Langkah 12.2.7

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

Langkah 12.2.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Langkah 12.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Langkah 12.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Langkah 12.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$