Kalkulus Contoh

$(y + 2 x) d y + y d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Langkah 3.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = 2$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $2$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Langkah 5.3.2

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{1}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Langkah 6.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | y | + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y d x + (y + 2 x) d y = 0$ dengan faktor integral $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y \cdot y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Langkah 7.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $y + 2 x$ dengan $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) y d y = 0$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} d x + (y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} d x + (y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = y^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + 2 x y$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{2} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Langkah 12.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = y^{2} + 2 x y$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y - 2 x y$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $y^{2} + 2 x y - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Langkah 13.1.2.2

Tambahkan $y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Langkah 14

Temukan $y^{2}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Langkah 14.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 16

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{y^{3}}{3} + C$