Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{y (x + 2)}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} (\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{x}{x + 2}$ dengan $\frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$ .

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \cdot \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{(x + 2) y}$

Langkah 1.3.2

Gabungkan.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

Langkah 1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

Langkah 1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y^{2} + 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

Langkah 1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = y^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 y + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{{u_{1}}^{4}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${u_{1}}^{4}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Pindahkan ${u_{1}}^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.4.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- 4}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1})$ sebagai $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.2.1

Kalikan $\frac{1}{{u_{1}}^{3}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{{u_{1}}^{3} \cdot 3}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.6.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 \cdot {u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.6.2.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{3 {u_{1}}^{3}}$ .

$- \frac{1}{2 (3 {u_{1}}^{3})} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.6.2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{6 {u_{1}}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah $x$ dengan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Langkah 2.3.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Langkah 2.3.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Langkah 2.3.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Langkah 2.3.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.7

Biarkan $u_{2} = x + 2$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Biarkan $u_{2} = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 2.3.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.7.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Langkah 2.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$