Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x}$ : $y (1) = 1$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{x + y}{x}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $\frac{y}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{x}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{x}{x}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{x}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.2.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.2.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(\ln (| x |) + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \ln (| x |) x + C x$

Langkah 8.3.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| x |) x + C x$ .

$y = x \ln (| x |) + C x$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Susun kembali $x \ln (| x |)$ dan $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |)$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = C x + x \ln (| x |)$ .

$1 = C \cdot 1 + 1 \ln (| 1 |)$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C \cdot 1 + 1 \ln (| 1 |) = 1$ .

$C \cdot 1 + 1 \ln (| 1 |) = 1$

Langkah 10.2

Sederhanakan $C \cdot 1 + 1 \ln (| 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C + 1 \ln (| 1 |) = 1$

Langkah 10.2.1.2

Kalikan $\ln (| 1 |)$ dengan $1$ .

$C + \ln (| 1 |) = 1$

Langkah 10.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$C + \ln (1) = 1$

Langkah 10.2.1.4

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$C + 0 = 1$

Langkah 10.2.2

Tambahkan $C$ dan $0$ .

$C = 1$

Langkah 11

Substitusikan $1$ untuk $C$ dalam $y = C x + x \ln (| x |)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $1$ untuk $C$ .

$y = 1 x + x \ln (| x |)$

Langkah 11.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y = x + x \ln (| x |)$