Kalkulus Contoh

$(6 x y - 2 y^{2} + 1) d x + (3 x^{2} - 4 x y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 6 x y - 2 y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y - 2 y^{2} + 1]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x y - 2 y^{2} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [6 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $6 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $y$ adalah $6 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 4 y + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 4 y + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $6 x - 4 y$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 4 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x^{2} - 4 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 4 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x y$ terhadap $x$ adalah $- 4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x - 4 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x - 4 y \cdot 1$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x - 4 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $6 x - 4 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $6 x - 4 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x - 4 y = 6 x - 4 y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$6 x - 4 y = 6 x - 4 y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} - 4 x y d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = 3 x^{2} - 4 x y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d y + \int - 4 x y d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 3 x^{2} y + C + \int - 4 x y d y$

Langkah 5.3

Karena $- 4 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 4 x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 x^{2} y + C - 4 x \int y d y$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} y + C - 4 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = 3 x^{2} y - 4 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} y + \frac{- 4}{2} x y^{2} + C$

Langkah 5.6.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} y + \frac{2 \cdot - 2}{2} x y^{2} + C$

Langkah 5.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x y^{2} + C$

Langkah 5.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = 3 x^{2} y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x y^{2} + C$

Langkah 5.6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 3 x^{2} y + \frac{- 2}{1} x y^{2} + C$

Langkah 5.6.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} y - 2 x y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} y - 2 x y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y - 2 x y^{2} + g (x)] = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} y - 2 x y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $3 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 y x + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- 2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 y x - 2 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 y x - 2 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$6 y x - 2 y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$6 y x - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} + 6 x y = 6 x y - 2 y^{2} + 1$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + 6 x y = 6 x y - 2 y^{2} + 1 + 2 y^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $6 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 6 x y - 2 y^{2} + 1 + 2 y^{2} - 6 x y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $6 x y - 2 y^{2} + 1 + 2 y^{2} - 6 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Tambahkan $- 2 y^{2}$ dan $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 0 + 1 - 6 x y$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $6 x y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 1 - 6 x y$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $6 x y$ dengan $6 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 1$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Langkah 10

Temukan $1$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Langkah 10.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = 3 x^{2} y - 2 x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} y - 2 x y^{2} + x + C$