Kalkulus Contoh

$(t^{2} + x^{2}) d t + (2 t x - x) d x = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = t^{2} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [t^{2} + x^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [t^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [t^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 1.3

Karena $t^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $t^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 1.4

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 t x - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 t x - x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t x - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 t x] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 t x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 t x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2 t$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 t x$ terhadap $x$ adalah $2 t \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t - 1 \cdot 1$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 t - 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 t - 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 t - 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$0 = 2 t - 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 t - 1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 t - 1)}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 t x - x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 t x - x$ untuk $N$ .

$\frac{0 - (2 t - 1)}{2 t x - x}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{0 - (2 t) - - 1}{2 t x - x}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{0 - 2 t - - 1}{2 t x - x}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{0 - 2 t + 1}{2 t x - x}$

Langkah 4.3.2.4

Kurangi $- (- 2 t + 1)$ dengan $0$ .

$\frac{- 2 t + 1}{2 t x - x}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $x$ dari $2 t x - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $2 t x$ .

$\frac{- 2 t + 1}{x (2 t) - x}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{- 2 t + 1}{x (2 t) + x \cdot - 1}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $x$ dari $x (2 t) + x \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 t + 1}{x (2 t - 1)}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2 t + 1$ dan $2 t - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) + 1}{x (2 t - 1)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (- 1)}{x (2 t - 1)}$

Langkah 4.3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 t) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 t - 1)}{x (2 t - 1)}$

Langkah 4.3.4.4

Tulis kembali $- (2 t - 1)$ sebagai $- 1 (2 t - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 t - 1)}{x (2 t - 1)}$

Langkah 4.3.4.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 (2 t - 1)}{x (2 t - 1)}$

Langkah 4.3.4.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{x}$

Langkah 4.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(t^{2} + x^{2}) d t + (2 t x - x) d x = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $t^{2} + x^{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(t^{2} + x^{2}) \frac{1}{x} d t + (2 t x - x) d x = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $t^{2} + x^{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + (2 t x - x) d x = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $2 t x - x$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + (2 t x - x) \frac{1}{x} d x = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $2 t x - x$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{2 t x - x}{x} d x = 0$

Langkah 6.5

Faktorkan $x$ dari $2 t x - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Faktorkan $x$ dari $2 t x$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{x (2 t) - x}{x} d x = 0$

Langkah 6.5.2

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{x (2 t) + x \cdot - 1}{x} d x = 0$

Langkah 6.5.3

Faktorkan $x$ dari $x (2 t) + x \cdot - 1$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{x (2 t - 1)}{x} d x = 0$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + \frac{x (2 t - 1)}{x} d x = 0$

Langkah 6.6.2

Bagilah $2 t - 1$ dengan $1$ .

$\frac{t^{2} + x^{2}}{x} d t + (2 t - 1) d x = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 t - 1 d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = 2 t - 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 t d y + \int - 1 d y$

Langkah 8.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 t y + C + \int - 1 d y$

Langkah 8.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 t y + C - y + C$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

$f (x, y) = 2 t y - y + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 t y - y + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 t y - y + g (x)] = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t y - y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 t y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 t y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Langkah 11.3

Karena $2 t y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 t y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Langkah 11.4

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Langkah 11.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Langkah 11.6.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$

Langkah 12

Temukan $\frac{t^{2} + x^{2}}{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \frac{t^{2} + x^{2}}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{t^{2} + x^{2}}{x} d x$

Langkah 12.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2} + x^{2}}{x} d x$

Langkah 12.3

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Langkah 12.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Langkah 12.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Langkah 12.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Langkah 12.5.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Langkah 12.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Langkah 12.5.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Langkah 12.5.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$g (x) = \int \frac{t^{2}}{x} d x + \int x d x$

Langkah 12.6

Karena $t^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $t^{2}$ keluar dari integral.

$g (x) = t^{2} \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Langkah 12.7

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$g (x) = t^{2} (\ln (| x |) + C) + \int x d x$

Langkah 12.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = t^{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.9

Sederhanakan.

$g (x) = t^{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 13

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = 2 t y - y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 t y - y + t^{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 14

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 t y - y + t^{2} \ln (| x |) + \frac{x^{2}}{2} + C$