Kalkulus Contoh

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (1 + 2 x \tan (y))$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 2 x \tan (y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Langkah 2.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

Langkah 2.6

Karena $2 \tan (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x \tan (y)$ terhadap $x$ adalah $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

Langkah 2.9

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 \tan (y)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2 \tan (y)$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$0 = - 2 \tan (y)$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 \tan (y)$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

Langkah 4.3.2

Bagilah $- 2 \tan (y) + 0$ dengan $1$ .

$- 2 \tan (y) + 0$

Langkah 4.3.3

Substitusikan $1$ untuk $M$ .

$- 2 \tan (y)$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\tan (y)$ terhadap $y$ adalah $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

Langkah 5.4.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| \sec (y) |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

Langkah 5.4.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

Langkah 5.4.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

Langkah 5.4.6

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ sebagai ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

Langkah 5.4.7

Tulis kembali $\sec (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

Langkah 5.4.8

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

Langkah 5.4.9

Kalikan $\cos (y)$ dengan $1$ .

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

Langkah 6

Kalikan $1$ dengan $\cos^{2} (y)$ .

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos^{2} (y) x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\cos^{2} (y) x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (y)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (y)$ .

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.3.3

Turunan dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $- \sin (y)$ .

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Tambahkan $2 x \cos (y) \sin (y)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ dan $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ dan $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

Langkah 12.1.2.3

Tambahkan $- \cos^{2} (y)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

Langkah 13

Temukan $- \cos^{2} (y)$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

Langkah 13.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

Langkah 13.4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (y)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Langkah 13.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

Langkah 13.6

Hilangkan tanda kurung.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Langkah 13.7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Langkah 13.8

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Langkah 13.9

Biarkan $u = 2 y$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.1

Biarkan $u = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 13.9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 13.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 13.9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 13.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 13.10

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 13.11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 13.12

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 13.13

Sederhanakan.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 13.14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Langkah 13.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 y)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Langkah 13.15.2

Terapkan sifat distributif.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Langkah 13.15.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Langkah 13.15.4

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.15.4.1

Kalikan $\frac{\sin (2 y)}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 13.15.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Langkah 13.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.16.1

Susun kembali suku-suku.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Langkah 13.16.2

Hilangkan tanda kurung.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Langkah 13.16.3

Hilangkan tanda kurung.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $\sin (2 y)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ .

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$