Kalkulus Contoh

$x y^{3} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Langkah 1.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y^{3}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (3 y^{2})$

Langkah 1.4

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \cdot x y^{2}$

Langkah 1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $3 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $2 y^{2} x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 y^{2} x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 y^{2} x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} x = 2 y^{2} x$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$3 y^{2} x = 2 y^{2} x$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 y^{2} x$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y^{2} x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $3 y^{2} x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y^{2} x - (3 y^{2} x)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x y^{3}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x y^{3}$ untuk $M$ .

$\frac{2 y^{2} x - (3 y^{2} x)}{x y^{3}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $y^{2} x$ dari $2 y^{2} x - 1 \cdot 3 y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $y^{2} x$ dari $2 y^{2} x$ .

$\frac{y^{2} x (2) - 1 \cdot 3 y^{2} x}{x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $y^{2} x$ dari $- 1 \cdot 3 y^{2} x$ .

$\frac{y^{2} x (2) + y^{2} x (- 1 \cdot 3)}{x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $y^{2} x$ dari $y^{2} x (2) + y^{2} x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y^{2} x (2 - 1 \cdot 3)}{x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{y^{2} x (2 - 3)}{x y^{3}}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{y^{2} x \cdot - 1}{x y^{3}}$

Langkah 4.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x \cdot - 1$ .

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{x y^{3}}$

Langkah 4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{y^{2} (x y)}$

Langkah 4.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{y^{2} (x y)}$

Langkah 4.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \cdot - 1}{x y}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot - 1}{x y}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y}$

Langkah 4.3.5

Substitusikan $x y^{3}$ untuk $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $x y^{3} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x y^{3}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$x y^{3} \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y^{3}$ .

$y (x y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y (x y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x^{2} y^{2} + 1$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $x^{2} y^{2} + 1$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$x y^{2} d x + \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = x y^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Langkah 8.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.3.3

Karena $\frac{x^{2}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.3.7.2

Bagilah $x^{2} y$ dengan $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y} - x^{2} y$

Langkah 12.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Pisahkan pecahan $\frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{y} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Langkah 12.1.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Langkah 12.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y^{1}} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Langkah 12.1.2.2.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y \cdot 1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Langkah 12.1.2.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y \cdot 1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Langkah 12.1.2.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y}{1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Langkah 12.1.2.2.2.5

Bagilah $x^{2} y$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Langkah 12.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} y + \frac{1}{y} - x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Kurangi $x^{2} y$ dengan $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y} + 0$

Langkah 12.1.3.2

Tambahkan $\frac{1}{y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Langkah 13

Temukan $\frac{1}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.3

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \ln (| y |) + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \ln (| y |) + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \ln (| y |) + C$