Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = 3 t$ , $y (2) = 8$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = 3 t$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = 3 t$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = \frac{1}{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{t}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (t)}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$t$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t (3 t)$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{t}$ dan $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$t \frac{d y}{d t} + y = t (3 t)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t \cdot t$

Langkah 3.4

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 (t \cdot t)$

Langkah 3.4.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t^{2}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [t y] = 3 t^{2}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 3 t^{2} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$t y = \int 3 t^{2} d t$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$t y = 3 \int t^{2} d t$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Langkah 7.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$t y = 1 t^{3} + C$

Langkah 7.3.2.3

Kalikan $t^{3}$ dengan $1$ .

$t y = t^{3} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $t y = t^{3} + C$ dengan $t$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $t y = t^{3} + C$ dengan $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $t^{3}$ dan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Faktorkan $t$ dari $t^{3}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3.1.2.2

Faktorkan $t$ dari $t^{1}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{t^{2}}{1} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3.1.2.5

Bagilah $t^{2}$ dengan $1$ .

$y = t^{2} + \frac{C}{t}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $2$ untuk $t$ dan $8$ untuk $y$ padda $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ .

$8 = 2^{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2^{2} + \frac{C}{2} = 8$ .

$2^{2} + \frac{C}{2} = 8$

Langkah 10.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 + \frac{C}{2} = 8$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{C}{2} = 8 - 4$

Langkah 10.3.2

Kurangi $4$ dengan $8$ .

$\frac{C}{2} = 4$

Langkah 10.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Langkah 10.5

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Langkah 10.5.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$C = 2 \cdot 4$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$C = 8$

Langkah 11

Substitusikan $8$ untuk $C$ dalam $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $8$ untuk $C$ .

$y = t^{2} + \frac{8}{t}$