Kalkulus Contoh

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ dengan $x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ dengan $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1} \cdot \frac{1}{x y}$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $\frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (x y)}$

Langkah 1.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $y (y + 1)$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = y (y + 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y \cdot y + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Langkah 1.4.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Langkah 1.4.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Langkah 1.4.4

Kalikan $\frac{x^{2} + 1}{x}$ dengan $\frac{1}{y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) \frac{x^{2} + 1}{x (y (y + 1))}$

Langkah 1.4.5

Kalikan $y^{2} + y$ dengan $\frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Langkah 1.4.6

Faktorkan $y$ dari $y^{2} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Langkah 1.4.6.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y^{1}) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Langkah 1.4.6.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y \cdot 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Langkah 1.4.6.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y + y \cdot 1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Langkah 1.4.7

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Langkah 1.4.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Langkah 1.4.8

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Langkah 1.4.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y (y + 1) d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y (y + 1) d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $y (y + 1)$ .

$\int y \cdot y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int y^{1} y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.2.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int y^{1} y^{1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y^{1 + 1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int y^{2} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\int y^{2} + y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$