Kalkulus Contoh

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Langkah 1.2

Karena $\frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + \ln (| x |)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Langkah 2.2.2

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = | x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 2.3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $| x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\frac{1}{| x |}$ dengan $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Langkah 2.3.4

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Langkah 2.3.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Langkah 2.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Langkah 2.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Langkah 2.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Langkah 2.4.2

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Langkah 2.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Langkah 2.4.3.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 2.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Langkah 2.4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Langkah 2.4.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{1}{x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{1}{x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = \frac{y}{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 8

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Langkah 9.1.2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Langkah 9.1.2.2

Karena $\frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 9.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Langkah 9.1.2.4

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Langkah 9.1.3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Langkah 9.1.3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + \ln (| x |)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Langkah 9.1.3.2.2

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Langkah 9.1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = | x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 9.1.3.3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 9.1.3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 9.1.3.3.2

Turunan dari $| x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Langkah 9.1.3.3.3

Kalikan $\frac{1}{| x |}$ dengan $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Langkah 9.1.3.3.4

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Langkah 9.1.3.3.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Langkah 9.1.3.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Langkah 9.1.3.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Langkah 9.1.3.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Langkah 9.1.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.4.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Langkah 9.1.3.4.2

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Langkah 9.1.3.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.4.3.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Langkah 9.1.3.4.3.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 9.1.3.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.4.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Langkah 9.1.3.4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Langkah 9.1.3.4.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Langkah 9.1.4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.4.1

Substitusikan $\frac{1}{x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{1}{x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Langkah 9.1.4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ adalah identitas.

Langkah 9.1.5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Langkah 9.1.6

Integralkan $M (x, y) = \frac{y}{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.6.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 9.1.6.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Langkah 9.1.6.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Langkah 9.1.7

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Langkah 9.1.8

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.9

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.9.1

Sederhanakan $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.9.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $d$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.9.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.9.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.9.1.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.9.1.3

Faktorkan $y$ dari $y \ln (| x |) + g y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.9.1.3.1

Faktorkan $y$ dari $y \ln (| x |)$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.9.1.3.2

Faktorkan $y$ dari $g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.9.1.3.3

Faktorkan $y$ dari $y \ln (| x |) + y g$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.9.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.9.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.9.1.4.2

Bagilah $\ln (| x |) + g$ dengan $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

Langkah 9.1.10

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

Langkah 9.1.11

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Langkah 9.1.12

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.12.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Langkah 9.1.12.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

Langkah 9.1.13

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

Langkah 10

Temukan $- g + y^{2}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

Langkah 10.4

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

Langkah 10.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 10.6

Sederhanakan.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$