Kalkulus Contoh

$(2 x^{2} + 3 y^{2}) d y + (3 x^{2} + 4 x y) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(3 x^{2} + 4 x y) d x + (2 x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 x^{2} + 4 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 4 x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 4 x y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x y]$

Langkah 2.2.2

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [4 x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 x y$ terhadap $y$ adalah $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x$

Langkah 2.4

Tambahkan $0$ dan $4 x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 x^{2} + 3 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 y^{2}]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} + 3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $4 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x = 4 x$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$4 x = 4 x$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 4 x y d x$

Langkah 6

Integralkan $M (x, y) = 3 x^{2} + 4 x y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x y d x$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x y d x$

Langkah 6.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x y d x$

Langkah 6.4

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 y \int x d x$

Langkah 6.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y \frac{4}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.5

Gabungkan $y$ dan $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y \cdot 4}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.6

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{4 \cdot y}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.7

Kalikan $4$ dengan $y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{4 y}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.8

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.8.1

Faktorkan $2$ dari $4 y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.7.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 6.7.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 6.7.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 y}{1} x^{2} + C$

Langkah 6.7.8.2.4

Bagilah $2 y$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + C$

Langkah 7

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9.2.2

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{3}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $2 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y x^{2}$ terhadap $y$ adalah $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Tambahkan $0$ dan $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 9.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{2} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kurangkan $2 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x^{2}$

Langkah 10.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 0$

Langkah 10.1.2.2

Tambahkan $3 y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$

Langkah 11

Temukan $3 y^{2}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} d y$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} d y$

Langkah 11.3

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y$

Langkah 11.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 11.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Langkah 11.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Langkah 11.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Langkah 11.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = 1 y^{3} + C$

Langkah 11.5.2.3

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$g (y) = y^{3} + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + y^{3} + C$