Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pisahkan $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

Langkah 1.2

Asumsikan $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

Langkah 1.3

Gabungkan $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ dan $\sqrt{y^{2}}$ ke dalam akar tunggal.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

Langkah 1.4

Pisahkan $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pisahkan pecahan $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $f (\frac{y}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ sebagai ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali $\frac{x}{y}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Sederhanakan $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(V^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

Langkah 6.1.1.1.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

Langkah 6.1.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

Langkah 6.1.1.1.1.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

Langkah 6.1.1.1.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

Langkah 6.1.1.1.1.5

Tulis kembali $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ sebagai ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1.5.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $1 + V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

Langkah 6.1.1.1.1.5.2

Faktorkan kuadrat sempurna $V^{2}$ dari $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

Langkah 6.1.1.1.1.5.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

Langkah 6.1.1.1.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

Langkah 6.1.1.1.1.7

Gabungkan $\frac{1}{V}$ dan $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Langkah 6.1.1.1.2

Untuk menuliskan $V$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Langkah 6.1.1.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Langkah 6.1.1.1.4

Kalikan $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Pisahkan pecahan $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ menjadi dua pecahan.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $V^{2}$ dan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.2.1

Faktorkan $V$ dari $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.2.2.1

Naikkan $V$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.2.2.2.2

Faktorkan $V$ dari $V^{1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.2.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.2.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.2.2.2.5

Bagilah $V$ dengan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

Langkah 6.1.1.2.3.2

Tambahkan $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Gabungkan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Langkah 6.1.1.3.3.3

Kalikan $\sqrt{1 + V^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

Langkah 6.1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Kalikan $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.2.1

Kalikan $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.2

Naikkan $\sqrt{1 + V^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.3

Naikkan $\sqrt{1 + V^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ sebagai $1 + V^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + V^{2}}$ sebagai ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2.6.5

Sederhanakan.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.3

Gabungkan.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Langkah 6.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.4.1

Faktorkan $V$ dari $V \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Langkah 6.1.4.4.2

Faktorkan $V$ dari $V x$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

Langkah 6.1.4.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Langkah 6.1.4.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

Langkah 6.1.4.5

Kalikan $\sqrt{1 + V^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.4.6

Kalikan $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.7

Naikkan $\sqrt{1 + V^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.8

Naikkan $\sqrt{1 + V^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.11

Tulis kembali ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ sebagai $1 + V^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.11.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + V^{2}}$ sebagai ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.11.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.11.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.11.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.11.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.11.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.11.5

Sederhanakan.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.12

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + V^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.12.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.12.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Biarkan $u = 1 + V^{2}$ . Kemudian $d u = 2 V d V$ sehingga $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Biarkan $u = 1 + V^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + V^{2}$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Langkah 6.2.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $1$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Langkah 6.2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Langkah 6.2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 V$ .

$2 V$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.6.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6.2.3

Kalikan $u^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Sederhanakan.

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Langkah 6.3.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

Langkah 6.3.3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

Langkah 6.3.3.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

Langkah 6.3.3.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \ln (| x |) + C$ dan $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Langkah 6.3.3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Langkah 6.3.3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Langkah 6.3.3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}, - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali.

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $\sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Naikkan $\ln (| x |) + C$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Langkah 8.3.2.1.2

Naikkan $\ln (| x |) + C$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Langkah 8.3.2.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Langkah 8.3.2.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Langkah 8.3.2.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.3.2.1.6

Terapkan sifat distributif.

$y = \ln (| x |) x + C x$

Langkah 8.3.2.1.7

Sederhanakan dengan saling menukar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.7.1

Susun kembali $\ln (| x |)$ dan $x$ .

$y = x \ln (| x |) + C x$

Langkah 8.3.2.1.7.2

Susun kembali $x \ln (| x |)$ dan $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 9.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Langkah 9.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Sederhanakan $- \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1.1

Naikkan $\ln (| x |) + C$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Langkah 9.3.2.1.2

Naikkan $\ln (| x |) + C$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Langkah 9.3.2.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Langkah 9.3.2.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Langkah 9.3.2.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = - (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 9.3.2.1.6

Terapkan sifat distributif.

$y = (- \ln (| x |) - C) x$

Langkah 9.3.2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$y = - \ln (| x |) x - C x$

Langkah 9.3.2.1.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1.8.1

Pindahkan $\ln (| x |)$ .

$y = - 1 x \ln (| x |) - C x$

Langkah 9.3.2.1.8.2

Susun kembali $- 1 x \ln (| x |)$ dan $- C x$ .

$y = - C x - 1 x \ln (| x |)$

Langkah 9.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = - C x - x \ln (| x |)$

Langkah 10

Sebutkan penyelesaian-penyelesaiannya.

$y = C x + x \ln (| x |), y = - C x - x \ln (| x |)$