Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pisahkan $\frac{x y + y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{x y + y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y x + y \cdot y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + y)}{x^{2}} + 1$

Langkah 1.2

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y (x + y)}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y (x + y)}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{x + y}{x} + 1$

Langkah 1.2.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\frac{x + y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x} \cdot \frac{y}{x} + 1$

Langkah 1.3

Pisahkan $\frac{x + y}{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan pecahan $\frac{x + y}{x}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{x}{x} + \frac{y}{x}) \frac{y}{x} + 1$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{x}{x} + \frac{y}{x}) \frac{y}{x} + 1$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{y}{x}) \frac{y}{x} + 1$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + V) V + 1$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (1 + V) V + 1$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x \frac{d V}{d x} + V = 1 V + V \cdot V + 1$

Langkah 6.1.1.1.2

Kalikan $V$ dengan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V \cdot V + 1$

Langkah 6.1.1.1.3

Kalikan $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{2} + 1$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V + V^{2} + 1 - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $V + V^{2} + 1 - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1 + 0$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Tambahkan $V^{2} + 1$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 1}{x}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Langkah 6.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Langkah 6.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Susun kembali $V^{2}$ dan $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ terhadap $V$ adalah $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $V$ dari dalam arctangen.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$