Kalkulus Contoh

$4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ dengan $4 t x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ dengan $4 t x$ .

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.2.3.2

Bagilah $\frac{d x}{d t}$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $4 t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.1.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menuliskan $\frac{x}{4 t}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $\frac{x}{4 t}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x + 1}{4 t x}$

Langkah 1.2.4

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 t x}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ dengan $\frac{1}{t}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x t$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x (t)}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Langkah 1.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{t} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.2.2.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.5.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{t}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) = \ln (| t |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |) = C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Langkah 3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Langkah 3.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| t |$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| t |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C} | t |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x^{2} + 1 = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

Langkah 3.5.4.2

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x^{2} + 1 = \sqrt{e^{C} | t |}$

Langkah 3.5.4.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Langkah 3.5.4.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 3.5.4.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 3.5.4.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 3.5.4.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 3.5.4.2.5

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x^{2} + 1 = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Langkah 3.5.4.2.6

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Langkah 3.5.4.2.7

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 3.5.4.2.8

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.8.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 3.5.4.2.8.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 3.5.4.2.8.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 3.5.4.2.9

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$x = \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$