Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 3 x^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x + 3 x^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x + 3 x^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x + 3 x^{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{2} d y = (x + 3 x^{2}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int x + 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x + 3 x^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 3 \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 x^{3} + 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = 3 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{3 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{3 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3}) + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3}) + 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3}) + 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$

Langkah 3.4.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{3}) + 3 \frac{x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3} + \frac{x^{2}}{2}) + 3 K}$

Langkah 3.4.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{3} + \frac{x^{2}}{2}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $x^{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2}}{2} + K)}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} \cdot 2 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (x \cdot 2) + x^{2}}{2} + K)}$

Langkah 3.4.4.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + K)}$

Langkah 3.4.4.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (x \cdot 2 + 1)}{2} + K)}$

Langkah 3.4.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (2 x + 1)}{2} + K)}$

Langkah 3.4.5

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (2 x + 1)}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (2 x + 1)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Langkah 3.4.6.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} (2 x + 1) + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.7.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.7.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{2} x + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.7.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.4.1

Pindahkan $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.7.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.7.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.7.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{3} + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.4.7.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{3} + x^{2} + 2 K}{2}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{2 x^{3} + x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}{2}}$

Langkah 3.4.9

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Langkah 3.4.10

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.4.11

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.4.11.2

Naikkan $\sqrt[3]{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.4.11.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.4.11.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Langkah 3.4.11.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.4.11.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.4.11.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.11.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.11.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.4.11.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Langkah 3.4.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Langkah 3.4.12.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Langkah 3.4.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.13.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Langkah 3.4.13.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (2 x^{3} + x^{2} + K)}}{2}$