Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = y^{- 1} x^{- 3}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{- 1}}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} x^{- 3})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $y^{- 1}$ dari $y^{- 1} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} (x^{- 3}))$

Langkah 1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 1}} (y^{- 1} x^{- 3})$

Langkah 1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = x^{- 3}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{- 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{- 1}} d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{- 1}} d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $y^{- 1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 (x^{2})} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2}} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menuliskan $2 K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 3.4.3

Tulis kembali $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}$ sebagai ${(\frac{1}{x})}^{2} (- 1 + 2 K x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $- 1 + 2 K x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}}$

Langkah 3.4.3.2

Faktorkan kuadrat sempurna $x^{2}$ dari $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2} \cdot 1}}$

Langkah 3.4.3.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (- 1 + 2 K x^{2})}$

Langkah 3.4.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{x} \sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + 2 K x^{2}}}{x}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{- 1 + K x^{2}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{- 1 + K x^{2}}}{x}$