Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{t^{2} y + y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $t^{2} y + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $y$ dari $t^{2} y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y t^{2} + y}$

Langkah 1.1.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y t^{2} + y^{1}}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y t^{2} + y \cdot 1}$

Langkah 1.1.4

Faktorkan $y$ dari $y t^{2} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y (t^{2} + 1)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{t}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $\frac{t}{t^{2} + 1}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t}{(t^{2} + 1) y}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $(t^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t}{y (t^{2} + 1)}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t}{y (t^{2} + 1)}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{t}{t^{2} + 1}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = t^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 t d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = t^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 t + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$2 t$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| t^{2} + 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + 1 |)}{2} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| t^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| t^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \ln (| t^{2} + 1 |) + C \cdot 2$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$y^{2} = \ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + C}$